第二节  数量类图形
　　核心知识
　　数量是指图形中包含某种元素的多少，比如含有几条边，含有几种元素等。这类题目中每个图形仅代表一个或几个数量。
　　数量类图形推理的识别方法是：观察题干中的图形组成元素是否凌乱，或者部分相同元素数量上变化是否明显。如果某道题目组成元素凌乱，那么可以判别该题目为数量类图形推理。
　　我们所界定的图形中的元素，是指组成题目中大图形的小图形或者小部分，如线头、线条、笔画、小圆、小框、小点，等等。
　　1.点
　　“点”的规律是指在图形中蕴涵着交点数的变化。这里的交点数，主要是指线与线之间的交点数。
　　2.线
　　“线”的规律是指在图形中蕴涵着线条数、线头数、笔画数的变化，其变化规律常常呈现为常数列和等差数列。
　　线段数常见于一堆线段（包括直线段、曲线段）组成的图形中，线头数常见于有清晰线头出头的图形中，笔画数常见于汉字、英文字母中。另外，一笔画问题也是常见的题型。
　　3.角
　　“角”的规律是指在图形中经常包含有“边”“角”的要素，蕴含边角数的变化，其变化规律常常呈现为常数数列和等差数列。
　　边角数常见于多边形及圆组成的图形中，一般特征是图形构成简洁，图形间无复杂交叉。对边角数类题目要注意计算清楚边数和角数，以寻找其中的规律。
　　4.面
　　“面”的规律是指在图形中常常蕴含着区域数的变化，其变化规律常常呈现出常数数列和等差数列。
　　区域数常见于看似复杂、纵横交错的图形中，其识别特征是看上去组成元素庞杂、不容易寻找规律，但实则区域区分明显、区域数容易观察。
　　5.素
　　“素”的规律是指在图形中常常蕴含着元素种类、数目的变化，既包括图形整体的变化，又包括各组成部分的变化。
　　“素”的规律常见于由多种元素组成的图形中，对待此类题目，要先看元素整体的种类和数目变化有无规律，规律不明显时，再看各类元素的数目变化有无规律。
　　数量型解题要点总结：
　　第一步：从整体数考虑，识别“点线角面素”，确定数量规律。
　　第二步：如果整体不行的话，可以从部分（分位置或分样式）的角度确定数量，得出规律。
　　经典真题精讲
　　1．点：点的规律往往包含线段与线段、线段与直线、直线与曲线等各类型的交点数所呈现的变化。解题时特别要注意，在有些图形中，折线是一条线，其中的折点不能认为是交点。
　　【例1】 （2009-四川-61）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。前三幅图每个图中L和Z的交点都是两个；后三幅图中Z和矩形的交点都应该是3个。
　　【例2】 （2009-四川-62）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。前三幅图折点依次减少一个，后三幅图中折点依次增加一个，且开口方向在旋转。
　　【例3】 （2009-浙江-63）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。每行两点之间的连线关系有三种，都包含垂直和平行，且用线连接的点数总和都为11个，因此答案为B。
　　2．线
　　（1）线条数：包含多边形、曲线以及其他复杂图形的线段数或者直线数。
　　【例4】 （2007-国考-63）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。按列看，第1列中线段的数目为4、0、4，第2列线段的数目为5、4、1，第3列线段的数目为8、3，前两列的规律为4＝0+4，5＝4+1，故下一个图形线段数目为5，故选D。
　　【名师点评】 此题的解题点是图形中线段数量的变化。
　　【例5】 （2009-北京应届-26）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。前一组图三个图形的圆内分别由2、3、5条线条构成，且2+3=5，后一组图按前面的规律，第三个图的圆内应包含5条线段，故应选D。本题也可通过观察内外图形的触点数得出规律。前一组图的触点数为2、3、5，且2+3=5。后一组图也遵循此规律，故选D。
　　【例6】 （2009-浙江-57）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。每个图形都有12条线段。
　　【例7】 （2010-十三省联考）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。第一组图形中的每个图形都是由13条线段构成的；第二组的前两个图形都是由14条线段构成的，选项中只有C项由14条线段构成。本题选C。
　　（2）线头数：这里的线头数特指直线或者射线的出头数。
　　【例8】 （2008-国考-64）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。对本题来说，容易发现五个图形的共同特征是图形都含有出头线段。并且五幅图形的线段出头数分别是3、5、1、2、0，发现将其按由小到大的顺序排列后是0、1、2、3、5，其中缺少一个4，因此应填入含有4条出头线段的图形，即选择C项。
　　【例9】
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。观察第一组图形，发现三幅图的线头数都是6，观察第二组图形，发现前两幅图的线头数也都是6，所以应选择一个线头数是6的图形填入，因此选择D项。
　　【例10】 （2007-国考-62）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。第1列线头数目为5、3、1，第2列线头数目为7、9、11，第3列前两个图形线头的数目为17、15，推知均为等差数列，且公差为2，则下一个图形的线头数为13个。A项符合条件。
　　【名师点评】 此题的解题点是图形数量的变化。
　　（3）笔画数：常见的题型包括汉字笔画、英文字母笔画等。笔画数往往呈现某种数列规律，如常数数列、等差数列等。考生看到图形全部是汉字或者字母的时候，第一反应应该考虑笔画规律。笔画数类题目属于较早的一种图形推理题，在2005年之前出现较多，现在虽然已不再单纯考查这一规律，但常常与其他规律结合考查成为新题型，如考虑封闭空间、字母表位置排序、笔画的交点数、字母的对称性等规律。类似这些规律我们将在相应的章节进行讲解。
　　【例11】 （2009-天津-51）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。前四个图形的笔画数依次为1，2，3，4，第五个图形的笔画数应为5，据此选择D项。
　　【例12】 （2005-广东下半年-69）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。第一组英文字母均是3画，第二组前两个英文字母均是4画，因此“？”处应填入一个4画的，选择C项。
　　【名师点评】 这就是一道典型的字母类题。通常的解题思路是笔画数，但考生也应注意，有时题目考查的规律是字母表顺序。
　　（4）一笔画问题：一笔画是一个传统的几何问题，早在18世纪，瑞士著名的数学家欧拉就找到了一笔画的规律。欧拉认为，能一笔画出的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的。但是，不是所有的连通图都可以一笔画的，能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。
　　欧拉发现的一笔画问题的规律是：①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。可以把任一偶点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。②凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。③其他情况的图都不能一笔画出。(偶数个奇点除以2便可算出此图需几笔画成。)
　　如下图所示：（a）为①情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成的。
　　【例13】 （2010-江西-58）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。观察前三图可知，三图皆是一笔画成，依此规律，只有选项B是一笔画成。
　　【例14】 （2009-天津-54）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。根据一笔画问题的特征，前八幅图都可一笔画成，只有C项可一笔画出，故应当选择C项。
　　【例15】
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。第一组图形的三幅图和第二组图形的前两幅图都是可以由一笔画成的，因此应在选项中选择一个能够由一笔画成的图形，故选择B项。
　　【例16】 （2005-江苏C类-42）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。观察第一组图形，均是由一笔画成，图形既有直线，又有曲线。第二组图形，均是由两笔画成，因此应当选择一个两笔画成的图形，选择C项。
　　【名师点评】 一笔画问题由于规律相对单一，难度并不大，因此在近几年考查得并不多。但考生仍要加以注意，一笔画属于典型考点，今后仍有出题的可能性。
　　3．角：因为一个图形它是几边形，就有几个角。因此，在多边形中，角的问题往往与边联系在一起。
　　【例17】 （2005-国考一类-54）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。由于边的定义是线段，而角的定义是两线段所夹部分，因此圆是0边0角的。左边四个图的边角数分别是3、4、5、6，因此接下来是一个7边7角的图形，选择A项。
　　【例18】 （2008-吉林甲级-58）请从下面的四个图形中选出与其他三个不同的一个图形。
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。观察本题可见四幅图均由两个图形组成，外面图形的边数分别为3，4，6，5，里面图形的边数分别为4，3，4，3。分析发现，B、C、D都是外面图形的边数大于里面图形的边数，只有A项是外面图形的边数小于里面图形的边数，因此应选择A项。
　　【例19】 （2009-天津-53）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。前四个图形均为闭合图形，且内部有9个角（小于180°），四个选项中，只有D项中有9个内角。
　　4．面：面的规律包含范围较广，比如构成图形的面的数量、空间面积大小、面的相似性，等等。另外，这一规律往往与图形的封闭性结合考查，最常见的题型就是封闭面的数量成等差数列问题。
　　【例20】 （2009-国考-66）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。封闭空间均只有一个（不包括阴影部分），故选A。
　　【例21】 （2007-国考-64）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。横向看，第1行中，第1个图可看作由3部分组成，第2个图由2个部分组成，第3个图由3部分组成，总共由8个部分组成，第2行的3个图也由8个部分组成，第三行前2个图的组成部分为7，由此可推出第3行最后一个图为1个部分，A项符合条件。
　　【例22】 （2009-北京社招-26）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。第一组三幅图的面积依次减半，据此可选择A项。
　　【名师点评】 虽然图形面积变化规律并不常见，题型新颖，但本题较简单，很容易直接观察得出。
　　【例23】 （2009-浙江-56）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。空间数量变化，观察可知各图形空间数分别为2,3,4,5，因此应选D，空间数为6。
　　【例24】 （2010-广东-72）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。给出图形的封闭区间的个数分别为1，2，3，4，5，根据以上规律未知图形封闭区间的个数应为6个，答案选D。
　　5．素：图形元素是一个相对概念，有时是单独的元素，如三角形、圆等；有时是连在一起的几个部分共同组成元素，从而显现出变化规律。对此考生要具体分析，灵活运用。
　　【例25】 （2010-国考-58）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。本题所给图形呈现的规律是元素数量递增。第一幅图形中有3个三角形，第二幅图形中有4个三角形，第三幅图形中有5个，第四幅图形中有6个，第五幅图形中有7个，由此可知，问号处应该有8个三角形，C选项正确。
　　【例26】 （2009-国考-67）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为D。1个五角星等于2个圆，则圆的数目依次为4，4，4，6，6，6。故正确答案为D。
　　【例27】 （2009-国考-68）请从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性：
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为A。组成各个图形的元素种类数依次为1，2，1，2，1，2，只有A项由两种元素组成，故选A。
　　【例28】 （2009-浙江-64）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为C。一个网格方块等于2个空白方块，每行前两格的方块之和等于第三格的方块之和。第一行为2+3=5，第二行为4+2=6，则第3行应为4+3=7，因此正确答案为C。
　　【名师点评】 本题是一道典型的元素数量推理题，注意元素种类根据规律替换的原则。
　　【例29】 （2009-辽宁-53）
　　A B CD
　　【解析】 本题正确答案为B。每幅图都由三个独立的部分组成，据此应选择B项。
　　【例30】 （2009-河北-67）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。第一组每幅图中白色小圈的数量递减，黑色小圈的数量递增，第二组也延续着这一规律，据此选择B项。
　　【例31】 （2009-浙江-61）
　　ABCD
　　【解析】 本题正确答案为B。本题属于“一个顶俩”类，1个圆圈相当于5个三角形，1个方块相当于4个三角形，每个图都等价于22个三角形，因此选择B项。