排列组合——平均分组问题

一、知识点介绍

平均分组，就是将不同的元素平均分成几组，问有多少种不同的方法数。

如：将ABCD四人平均分成两组，有几种分法?

我们可以尝试枚举：

第一种：ABCD

第二种：ACBD

第三种：ADBC

第四种：CDAB

第五种：BDAC

第六种:BCAD

通过枚举，我们可以发现第一种和第四种其实是一种分法，第二种和第五种是一种分法，第三种和第六种是一种分法。因此，四人平均分成两组共有三种分法。

平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，因此我们可以得出一个结论：有n个不同的元素，平均分成m个组，每个组都有k(k=)个元素，则有种不同的方法数。

二、例题讲解

【例1】将10名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法?

A.120

B.126

C.240

D.252

【答案】B

【解析】第一步，本题考查排列组合问题，属于基础排列组合。

第二步，由平均分成两组可知，此题属于平均分组问题，将10人平均分成两组，每组5人，直接套用平均分组公式可得.

因此，选择B选项。

【例2】某单位工会组织桥牌比赛，共有8人报名，随机组成4队，每队2人。那么小王和小李恰好被分在同一队的概率是:

A.1/7

B.1/14

C.1/21

D.1/28

【答案】A

【解析】第一步，本题考查概率问题，属于其他概率问题。

第二步，根据平均分组公式，8人平均分成4组，每组两人，有种方法;

小王和小李被分在同一组，则剩下的6人平均分成3组，每组两人，有种方法。

第三步，小王和小李被分在同一组的概率为÷=。

因此，选择A选项。

【例3】某市举办足球邀请赛，共有9个球队报名参加，其中包含上届比赛的前3名球队。现将这9个球队通过抽签的方式平均分成3组进行单循环比赛，则上届比赛的前3名球队被分在同一组的概率是：

A.1/21

B.1/28

C.1/63

D.1/84

【答案】B

【解析】第一步，本题考查概率问题，属于其他概率问题。

第二步，根据平均分组公式，9人平均分成3组，每组三人，有种方法;

上届比赛的前3名球队被分在同一组，则剩下的6人平均分成2组，每组三人，有种方法。

第三步，上届比赛的前3名球队被分在同一组的概率为÷=。

因此，选择B选项。

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