2021-10-02 12:11:35 公务员考试网
文章来源:广东分院
几何问题无论在国考还是各地的省考,都是高频考点。而几何问题的解题方法有比较多,比如公式法、切割平移法、几何特性法等。不同的题,应该快速找到合适的解题方法,才能真正实现快速解题。咱们现在详细了解下几何特性法。
几何特性:一个几何图形,对应角不发生改变,对应边长扩大为原来的N倍,则对应周长扩大为原来N倍,对应面积扩大为原来的N2倍,对应的体积扩大为原来的N3倍。这本质是一个比例放缩的问题,简言之,变化前后是相似图形才能使用几何特性。下表,列举不同的图形对周长、面积、体积变化进行梳理,来帮助大家理解。
原图 | 扩大后 | 原图 | 扩大后 | 变化 | |
周长 | ![]() |
![]() |
12cm | 24cm | 24÷12=2 |
面积 | ![]() |
![]() |
25πcm2 | 225πcm2 | 225÷25=9 |
体积 | ![]() |
![]() |
128πcm3 | 3456πcm3 | 3456÷128=27 |
理解了相关理论之后,下面针对考试真题进行梳理学习。
【例】一个人工湖的湖面上有一个露出水面3米的圆锥体人工景观(底面朝下)。如人工湖水深减少20%,则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米?
A.3.5 B.3.75
C.4.25 D.4.5
【解析】第一步,本题为几何问题。
第二步,由于圆锥体人工景观是底面朝下的放置,因此露出水面的部分在水位下降前后均属于圆锥体,属于相似图形,可以利用几何特性求解。
第三步,假设水深减少前后的体积之比为1:(1+)=64:125=43:53,即水深减少前后圆锥体的高度之比为4:5,原露出水面的高度为3米,水深减少20%后高度为3÷4/5=3.75米,圆锥体露出水面部分增加的高度就是水深减少的高度,而水深减少为3.75-3=0.75米,即0.75米占原水深的20%,因此原水深为0.75/20%=3.75米。
因此,本题选择B选项。
【例】如图,沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组成,下面的圆锥内装有细沙,计时开始时,将沙漏倒置,已知上面圆锥中细沙全部流下恰好需要1小时,则细沙高度下降一半所需的时间是?
A. 30分钟 B. 45分钟
C. 47.5分钟 D. 52.5分钟
【解析】第一步,本题是几何问题。
第二步,根据题意,沙漏是一个圆锥体,从装满沙到高度下降一半,则相当于对应边均减半了:即高度减少一半,半径减少一半,如下图,ABC是沙漏的平面视图,CFG是高度下降一半后的平面视图,即有BD=EF,
CD=CE,所以对应体积变化为下降前的体积是下降后体积的8倍。因此,减少的部分是减少前的7/8,因此,需要的时间也是7/8, 即60分钟×78=52.5分钟。
因此,本题选择D选项。
结合上面的例子,我们不难发现,利用几何特性进行求解,可以省去使用复杂公式求解的麻烦,简化了解题过程,最终还提升了解题效率。因此,需要考生们认真理解这个解题方法。
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