2022国考行测数量关系之容斥问题

近些年来，在国省考的行测考试当中，数量关系中关于容斥问题的考察屡见不鲜。相比一些行程问题或者排列组合问题，常见的容斥问题其考察的难度并不算大，所以我们应当尽可能地在这个模块的考察中拿到相应的分值，放弃非常的可惜!总结下来，容斥问题的常用解题方法主要分为图解法和公式法，这两个方法都可以让大家在短时间内解决掉典型的容斥问题，我们可以根据自己的习惯选择相应的解决方法。

图解法的运用主要是通过韦恩图来表达容斥问题当中集合之间的相对关系，优势就是比较直观跟形象，利于分析，但是缺点就是可能需要花费一定的时间去作图，并且对于作图能力也有一定的要求。相比于图解法，公式法的运用实际上还要更直接一些，其实图解就是对公式的一个理解，换句话说，公式就是对图形的一个具象表达。所以如果公式法用得好，我们大部分的容斥问题都能够迎刃而解，我在这里主要给大家介绍一下公式法在容斥问题当中的运用。

容斥问题中的核心公式其实总结总结下来就3个，两集合一个、三集合两个。首先两集合公式我们可以表达为：总数-都不=A+B-AB,在遇到容斥问题时，如果发现这是两个相互独立的事件的关系，那么我们就可以把这个公式拿出来，把题干所给的数据跟公式里面的量一一对应地代入进去，不知道的量就假设成未知数，得到等量关系就可以解出该未知量了，基本上该未知量都是问题的重要依据。举个例子:在自然数1-1000中，既不能被2整除又不能被3整除的自然数有几个?对于这个问题，我们可以分别将能被2整除与能被3整除的数据当成相互独立的两个集合A与B，那么问题让我们求的既不能被2整除又不能被3整除的量就相当于是都不的部分，我们可以直接用两集合公式解决。首先求出A的数量，1-1000中有500个数能被2整除，A=500;其次1-1000中有333个数能被3整除，B=333;最后1-1000中既能被2整除又能被3整除的数也就是能被6整除的个数有166个。然后代入公式得到：1000-都不=500+333-166，所以都不=333，也就是有333个数既不能被2整除又不能被3整除。两集合的容斥公式在这种情景下得到了很好的运用，解起题来非常方便。

接下来就是三集合的2个公式，一个是标准型公式：，一个是非标准型公式：总数-都不=A+B+C-满足其中两种的个数-2满足三种的个数。我们在做三集合的容斥问题时，只需要判断题型是属于标准型公式还是非标准型公式，直接选取相应的公式代入即可。其实标准型公式跟非标准型公式的特征非常的鲜明，只要题目当中提到既、又、同时等这样的字眼时，就应该先用标准型公式去解决，举个例子： 班级里面有35个同学，18其中有个人会打羽毛球，22个人会打乒乓球，23个人会打排球，其中有13个同学既会打羽毛球又会打乒乓球，有14个人既会打羽毛球又会打排球，有17个人既会打乒乓球又会打排球，班上还有3个同学什么运动都不会，问有几个同学三种运动都会?这道题提到了既、又这样的字眼，所以是一道三集合标准型公式运用的题，假设有X个同学三种运动都会，直接代入公式得到：35-3=18+22+23-13-14-17+X，解得X=13，说明有13个同学三种运动都会。如果把这道题的叙述方式改为：班级里面有35个同学，18其中有个人会打羽毛球，22个人会打乒乓球，23个人会打排球，其中有13个同学这三种运动都会，还有3个同学这三种运动都不会，请问只会其中两种运动的有几个同学?这道题现在的特征变成了三种、两种这样的叙述，这就是三集合非标准型公式的特点，假设有X个人只会其中两种运动，我们可以直接运用非标准型公式代入得到：35-3=18+22+23-X-213，解得X=5，说明有5个同学只会其中两种运动。从举的这两个例子可以看出，公式法在容斥问题当中的运用是非常方便的，但是一定要弄懂公式之间的区别。

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