行测备考浅谈数量关系“容斥问题”

在数量关系中，有很多题型不需要过多的计算，而更深层次的是考查我们的数学思维，说道数学思维，好多同学就在心里默默地嘀咕了，我从大到小这个数学思维呀，没咋有过，太难了，老师你说的太玄学了，有没有简单的办法让我提高一下数学思维呢，好的那今天老师就针对数量关系里的容斥问题，给大家讲讲他的解题方法和技巧。先来给大家加加油![l2]

容斥问题在高中的时候涉及过，多个集合之间的关系相互包容的地方、排斥的地方。容斥原理一般考查两集合容斥和三集合容斥，用公式来做题，还有一些非主流的题目，用公式做不出来或者更麻烦，用画图法解决。

【例1】(2017 江西)某乡有32户果农，其中有26户种了柚子树，有24 户种了橘子树，还有5户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有：

A.23 户 B.22 户

C.21 户 D.24 户

解析：有的人选择柚子(A集合)，有的人选择橘子(B集合)，多集合之间的关系，即容斥问题，总共出现两个集合，公式：A+B-A∩B=总-都不，设同时种植柚子树和橘子树的果农为 x，26+24-x=32-5，做容斥问题有加加减减，可以用尾数法，x=尾数0-尾数7=尾数3，对应A项。【选A】

例2：(2018 陕西)有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有( )种。

A.14 B.15

C.16 D.17

E.18 F.19

G.20 H.21

解析：由题意可知出现三个概念，抗氧化剂达标的有68种(选择A)，防腐剂达标的有77种(选择 B)，漂白剂达标的有59种(选择C)，为三集合的容斥问题，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，则A∩B=54，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，则A∩C=43，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，则B∩C=35，三种食品添加剂都达标的有30种，则A∩B∩C=30，直接套公式，A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不，设都不达标为x代入数据：68+77+59-54-43-35+30=120 -x，选项尾数各不相同，考虑尾数法，等式左边的尾数为2=120-x，则x的尾数为8，对应E项。【选E】

例3：(2015 深圳)某大学法学院72名研究生当中有36人是中国法律援

助网志愿者，有28人是广东省法律援助中心志愿者，还有一些同学是学校法律

援助协会会员。已知参加学校法律援助协会的人数是既是中国法律援助网志愿者

又参加学校法律援助协会人数的3倍，是三种组织均参加了的人数的6倍;既参加了学校法律援助协会又是广东省法律援助中心志愿者的人数是三种组织都参加了的人数的2倍;既是中国法律援助网志愿者又是广东省法律援助中心志愿者

的人数有10人，则参加了学校法律援助协会的有( )人。

A.24 B.28

C.36 D.48

解析：本题的题干长，但是并不是难题。已知总人数为72人，出现三个集合，中国志愿者、广东志愿者、学校法律援助协会，三集合容斥问题。边读题边把标数据，中国志愿者=36人，广东志愿者=28人，学校法律援助协会是中∩学的3倍，学校法律援助协会是中∩广∩学的6倍，广∩学是中∩广∩学的2倍，理清倍数关系，中∩广=10人，有很多数据未知，需要设未知数，设其中一个，根据倍数关系表示，设小不设大，设三者的交集中∩广∩学为 x，则广∩学为2x，学校法律援助协会为6x，中∩学为 6x/3=2x，公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不，都不没有提到，默认为0，应该补充条件72人至少参加1种援助，代入数据36+28+6x-10-2x-2x+x=72-0，3x=18，解得x=6，则学校法律援助协会=6x=36，对应C项。【选 C】

我用三道例题呢给大家把容斥问题呢用数学的思维解了出来，没有大量的计算，但是用到了我们高中所用到的知识，我们的备课周期短，且知识点杂，乱，如果要想正对这类题目要有更深，更快的解题方法，好的，华图线下有很多课程，我在线下等你们。

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