数量关系知识点之容斥问题公式梳理

对于数量关系的备考，考生们不应该纠结于一些难题，在备考复习数量关系的过程中，仍然存在着很多一学就会的模块，考生们可以重点复习这一类的题目，掌握解题技巧，在考场上拿到数量关系的分数。

今天要给考生们梳理的是在国联考中常见的一种题型——容斥问题，容斥问题是一种计数的数学问题，在计数时，一部分的数据会被重复计数，计数时必须注意没有重复，没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法被称为充斥原理，容斥原理的基本思想是：先不考虑重复的数据，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。容斥问题有两种解题方法：1、画图法;2、公式法。画图法可以解决所有的容斥问题，公式法可以解决一部分基础的容斥问题，考生们在备考的过程中，不要一味的追求难题，可以把公式熟记，掌握基础的容斥问题，下面就带大家来梳理一下常用的容斥问题的公式。

一、二集合容斥问题

通过图形可得二集合公式：

总数=满足条件A+满足条件B-条件A、B都满足+条件A、B都不满足

【例题1】市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人即看过甲频道又看过乙频道，则接受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是：

A. 17 B. 22

C. 29 D. 38

【解析】本题考查容斥问题中的二集合容斥问题，题干中明确已知满足条件A，满足条件B，条件A、B都满足的数据，直接采用公式法，将已知条件带入到公式中即可解题。

设受调查观众在前一天晚上两个频道均未看过的人数为x，根据二集合容斥公式可列方程：150=108+36-23+x，解得x=29，因此，本题选择C选项。

二、三集合容斥问题

通过图形可得三集合公式(标准型)：

总数=满足条件A+满足条件B+满足条件C-满足条件AB-满足条件AC-满足条件BC+条件ABC都满足+条件ABC都不满足

【例题2】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种?

A. 14 B. 15

C. 16 D. 17

E. 18 F. 19

G. 20 H. 21

【解析】本题考查容斥问题中的三集合容斥问题，可直接采用三集合容斥公式解题。

设三种食品添加剂都不达标的有x种，带入三集合容斥公式，列出方程：120=68+77+59-54-43-35+30+x，解得x=18，因此，本题选择E选项。

在三集合中除了上述的标准公式外，还有两个其他公式：

1总数=满足条件A+满足条件B+满足条件C-满足两个条件-2×三个条件都满足+三个条件都不满足

2总数=满足一个条件+满足两个条件+三个条件都满足+三个条件都不满足

对于容斥问题，考生们在备考时重点要掌握公式的使用，在考场上优先考虑可以直接使用公式的容斥问题，最后，再用一张思维导图来总结一下容斥问题的公式。

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