2020国考数量关系等差数列的理由知识

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等差数求和在公职类考试当中考查的频率相对较少，不少同学反映即使记住了等差数列求和的公式，也比较费劲。究其原因，是没选对做题方法。

正所谓会者不难，难者不会，只有使用正确的解题方法才能快速地解题，在考试中如果只会求和公式，而没有掌握正确的解题方法，只能事倍功半，浪费宝贵的时间。

一、初识理论

等差数列在数值比较小的情况下往往并不会用到等差数列求和的公式，需要通过枚举法来解题。之所以能使用枚举法，在于当公差为1时，等差数列的前n项和比较容易计算，同学们不妨一起来枚举一下，前10项之和分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55。这些数值只需要有个大概的印象，做题时现推即可。

二、理论详解及应用

1、等差数列之排名问题

【例1】(2014山东)某单位举办围棋联赛，所有选手的排名都没有出现并列名次。小周发现除自己以外，其他所有人排名数字之和正好是70。问小周排名第几?

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

【思路点拨】选手的排名没有并列名次，说明排名是一个公差为1的等差数列，设总人数为n，则这个数列的前n项和为Sn。根据题意：Sn-小周名次=70。依次枚举公差为1的等差数列的前n项和，发现当n取1~6时，Sn都小于70;当n=7时，Sn=78，可以得出小周排名第8;当n的取值继续变大时，小周排名与总人数n矛盾。因此，选择B选项。

2、等差数列之实心三角形

【例2】(辽宁2018公检法)现有60枚1元硬币，若把它们在平面上紧密排列成正三角形，要使剩下的硬币尽可能少，则三角形的最大边长是：

A. 11

B. 10

C. 8

D. 6

【思路点拨】平面上密集排列成正三角形可知，第一层1枚，第二层2枚，第三层3枚，……第n层n枚，是公差为1的等差数列。一共60枚，因为数据比较少，考虑用枚举法解题，通过枚举我们可以知道前n项和的数值，前10项和为55，再多加一项就超过60了，所以边长最长应该是10。因此，选择B选项。

3、等差数列-方阵问题

【例3】(2019国考省部级)园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，发现如果增加5盆，就能摆成实心正三角形，如果减少4盆，就能摆成每边多于1个花盆的实心正方形，问将现有的花盆摆成实心矩形，最外层最少有多少盆花?

A. 22

B. 24

C. 26

D. 28

【思路点拨】本题是一个等差数列和方阵相结合的问题，比较难，很多同学通过代入法求解，那么有没有其他方法呢?这里就给大家介绍另一种方法。读题后我们发现本题解题的关键在于要知道花盆到底有多少个。

根据题干增加5盆能摆成实心正三角形，说明(花盆数+5)为一个公差为1的等差数列前n项和;减少4盆能摆成实心正方形，说明(花盆数-4)是一个平方数。由此可以推出，如果能找到一个n使公差为1的等差数列的前n项和减去9是个大于1的平方数，那么就可以求出n进而求出花盆数。当然为了让最外层的花盆尽量的少，我们要让n的取值尽量的小。

依次枚举出公差为1的等差数列的前n项进行验证，发现当n=9时，前n项和为45，45减去9之后是36为完全平方数，此时n也是满足题意的最小的一个数，因此取n=9。此时花盆数为45-5=40(盆)，我们就确定了最少有40个花盆。

推导到这，等差数列相关的工作就做完了，剩下的工作就是求最外圈最少有多少盆花了。根据几何极值理论，当图形的周长相等时，越接近圆，周长越短。故当矩形的两条边长度最接近时，最外层花盆最少。40盆花可以表示成1×40;2×20;4×10;5×8，边长分别为5和8时最接近，此时最外层花盆数最少。这时最外层花盆数为(8+5-1)×2=22(盆)。因此，本题选择A选项。

三、技巧小结

枚举法属于考试中非常高频的解题技巧，而枚举法也会经常延伸为枚举之后找规律。在近些年国考中最高频的枚举规律之一即是与等差数列相结合，这些题目最关键的一步就是通过枚举法列举等差数列前n项和。

希望上述总结，能为大家提供一些帮助，也希望大家平日能够掌握原理，多加练习，在考场中取得好成绩!

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