2020年国考行测数量关系备考之插板法

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今天我们这篇文章主要来讲排列组合的解题法宝之一的插板法，下边我们一起来看一下什么是插板法。

基本题型

基本题型为：n个相同元素，不同个m组，每组至少有一个元素;则只需在 n 个元素的n-1 个间隙中放置 m-1 块隔板把它隔成 m 份，求共有多少种不同方法?

其解题思路为：将 n 个相同的元素排成一行， n 个元素之间出现了( n-1 )个空档，现在我们用( m-1 )个 “档板 ”插入( n-1 )个空档中，就把 n 个元素隔成有序的 m 份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….)，这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法，这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。

例题：共有 10 完全相同的球分到 7 个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法?

解析：我们可以将 10 个相同的球排成一行， 10 个球之间出现了 9 个空隙，现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中，就 “把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个)，这样，借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。

基本题型的变形

(1)变形1：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组中，问有多少种不同的分法?

解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上 1 个，这样所要元素总数就 m 个，问题也就是转变成将( n+m )个元素分到 m 组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

例题：有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有( )种不同方法 。

解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加 1 个，则球的总数为 8+3 ×1=11，此题就有 C(10 ，2) =45(种)分法了。

(2)变形2：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组，要求各组中分到的元素至少某个确定值 S( s>1，且每组的 s值可以不同) ，问有多少种不同的分法?

解题思路： 这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值 s，各组分到的不是至少为一个了。 对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值 s 那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了，也就可以用插板法来解决。

例题：15 个相同的球放入编号为 1、2、 3 的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法?

解析：编号 1：至少 1 个，符合要求;

编号 2：至少 2 个：需预先添加 1 个球，则总数 -1 ;

编号 3：至少 3 个，需预先添加 2 个，才能满足条件，后面添加一个，则总数 -2 ;

则球总数 15-1-2=12 个放进 3 个盒子里，所以 C(11，2)=55 (种)。

通过上面的例题，我们可以看到在排列组合题其实是有方法及步骤可循的，只要大家能够牢记做题步骤即可快速作出答案。望大家能够熟练掌握，在考场做到快速解题。

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