一招搞定2018年国考行测高频考点之容斥原理

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在国家公务员行测考试中，数量关系部分往往有这样一类题型，看似简单的计数问题，却利用到了包含与排斥的解题思路，这就是我们平常课堂所讲的容斥原理。容斥原理是十九世纪英国数学家西尔维斯特首先建立的，公考中的容斥原理主要为两集合和三集合型。解决这一类问题主要有公式法和图示法两种解题方法，无论哪种解题方法，基本思路都一致，就是先不管有没有重复，统统加起来，再减去重复的部分。下面就从简单的两集合型讲起：

两集合容斥问题有所谓的标准型和非标准型，区别在在于标准型要么都满足要么都不满足，来道真题感知一下：

【例1】(2006年安徽)某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是：

A、22 B、18

C、28 D、26

这道题目中共两次考试，也就是两集合问题。题干中要么都及格，要么都不及格，这就是典型的两集合标准型。有固定的公式可套：

满足条件A+满足条件B-两者都满足=总数-两者都不满足

根据公式可列式：26+24-都及格=32-4 得及格人数=22人

当然容斥问题都可以用图示法来解决：

A、B两圆所占的面积大小可以表示为：A+B-A∩B

也可以表示为：总数-AB都不满足。即两集合标准型公式

两集合容斥原理还存在非标准型，与标准型的区别在于题干中存在只满足某个条件，比如：

【例2】(2014年国考)工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：

A.20% B.30%

C.40% D.50%

这道题题干中存在只报名参加周日的，也有只报名参加周六的。这类非标准型优先用图示法解答。

这个题目没有任何一个具体的量，所以我们要设置未知数，一般设两者都满足的量(最中间部分)为X，只满足周日为带斜线的部位(注意：它与满足周日意义不一样)为2X，那整个周日为3X，则整个周六为6X，只满足周六为5X。总共周六周日加起来参加的人数为8X，未参加的人数为2X,最后可得未参加的人数是只参加周六人数的40%。这道题的解题思路就按照图示法的思路一步一步把每一部分的数量表示出来。

最后我们来讲讲三集合容斥原理，同样的思路，先把三个集合的量加起来，再减去重复的部分。首先看看简单的三集合标准型：

【例3】(2015年陕西)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。

A、 20 B、 18

C、 17 D、 15

根据容斥原理的基本思路，先把喜欢三座名山的人数加起来，28+30+42=100人，再减去重复的部分，比如8人既喜欢黄山又喜欢华山，这8个人相加时就被计算了两次，需减去一次，即减去黄山和华山的重叠部分，同理减去黄山和泰山的重叠部分，减去泰山和华山的重叠部分。减完之后中间这一小部分前面加了三次，后面又减去了三次，所以最后必须再加上三者共同的部分。100-8-10-5+3=80，这80人表示至少喜欢一座山的人数，那一座山都不喜欢的就是20人，选A。

这种题型就是我们常说的“既...又...”，对应的方法是就是先加起来，在减去两两重复的部分，最后把三者都满足的加起来即是满足条件的总人数。

最后我们来讲讲容斥原理中最复杂的题目，三集合的另外一种题型，我们来看看这一类题型的特征：

【例4】(2010年国考)某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人：

A.120 B.144

C.177 D.192

这道题和第三题的相同部分是都先给出了A、B、C三个集合的大小，不同的是上一道题后面给出的条件是“既...又...”,这一题给出的是满足两个条件的数目，满足三个条件的数目。也就是最后在剔除重复时，满足两个条件的只需要剔除一次，而满足三个条件的必须剔除两次。图三中，满足一个条件的是1、3、7三个部分;满足两个条件是2、4、6三个部分;满足三个条件的是5这个部分。把满足一个条件、两个条件、三个条件的加起来就是全部。

所以这道题解题思路：63+89+47-24×2-46+15=120人。

通过四道题，把数量关系中容斥原理常考的四类题型简单的阐述了一下。基于的原理都是一致的，容斥原理都是先把各个集合的数目加起来，再减去重复的部分，就可以得到满足条件的总数目。只不过在剔除重复部分时，有一类是先减去两两重复的部分，最后发现减光了再加上三者重叠的部分;或者题干中的条件是按计算次数给的，那计算两次的减去一次，计算三次的减去两次，统统只要保留一次即可。有了这一招考生日后碰到容斥原理的题目解题就更加得心应手了!

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