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一、初等拉灯问题—倍数、约数
例 1： 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳 都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判 定：当这10个学生通过走廊后，走廊里有多少盏灯是亮的？
A.2 B.3 C.4 D.5
分析：
(1)原来电灯全部关闭，拉一下，亮着；拉两下，灭了；拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。
(2) 可从最简单的情况考虑，把拉过某号的学生号码写出来寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6是1,2，3,4号学生拉过，10是 1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才 是奇数，所以只有1，4，9号灯亮着。
本题答案：1，4，9号灯亮着，共有3盏灯。选B。
例 2：一间实验室里有100盏灯，分别编号为1、2、3、……、100号，它们起初都是关着的。现在有学号为1、2、3、……、100号的学生分别走进这间 实验室。1号学生把所有的灯的开关都拉了一次；2号学生把偶数号的灯的开关又都拉了一次；3号学生把倍数是3的号数的灯的开关都拉了一次;4号学生把倍数 是4的号数的灯的开关都拉了一次；……当这100个学生全部走进了实验室之后，最后亮着的灯有多少盏？（ ﹚
A.4 B.6 C.8 D.10
分析：
(1) 原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。
(2) 思路同例1，所有的平方数的灯亮着。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盏灯亮着。
选D。
例3：现在有1000盏灯，全亮，每个灯都由1个拉线开关控制。然后拉开关，规则：
先拉一下1的倍数的开关。(也就是说每个灯都得拉一下)，然后拉2的倍数的开关……
……最后拉1000的倍数的开关，问最后有几盏灯是亮的？（ ﹚
A.21 B.31 C.969 D.979
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